Question

在平面直角坐標系中的△ABC，AB=BC=5，點A坐標為（0，4），點B坐標為（-3，0）．
（1）若點C在坐標軸上，則點C的坐標是

 

；
（2）如圖1，當∠ABC=90°時，則點C的坐標是

 

；
（3）如圖2，當∠ABC=60°，BC邊與y軸交于點D，點E為AC邊上一點，且AE=CD，連接BE與y軸交于點P，求證：PB=2PO．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1））由AB=BC=5，A（0，4），B（-3，0），容易得出點C坐標有三個解；
（2）作CD⊥x軸于點D，證明△BCD≌△ABO，得出BD=AO=4，CD=BO=3，OD=1，從而得出點C坐標是 （1，-3）；
（3）先證明△ABE≌CAD（SAS），得出∠ABE=∠CAD，證出∠BPO=60°，∠OBP=30°，即可證出PB=2PO．

解答：解：（1）∵AB=BC=5，A（0，4），B（-3，0），點C在坐標軸上，
∴點C坐標是 （0，-4）或（-8，0）或（2，0）；
故答案為：（0，-4）或（-8，0）或（2，0）；
（2）作CD⊥x軸于點D，如圖1所示：
則∠CDB=∠AOB=∠ABC=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠BCD=∠ABO，
在△BCD和△ABO中，

∠BCD=∠ABO amp;  ∠CDB=∠AOB amp;  BC=AB amp;

 
∴△BCD≌△ABO（AAS），
∴BD=AO=4，CD=BO=3，
∴OD=4-3=1，
點C坐標是 （1，-3）；
故答案為：（1，-3）；
（3）證明：∵AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°，AB=AC，
在△ABE和△CAD中，

AB=AC amp;  ∠BAE=∠C amp;  AE=CD amp;

∴△ABE≌CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPO=∠ABP+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠OBP=90°-60°=30°，
∵AO⊥BO，
∴PB=2PO．

點評：本題考查了坐標與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°的直角三角形的性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．