Question

11．已知二次函數(shù)的圖象對稱軸為y軸，最大值為0，等邊△OAB的頂點(diǎn)A，B均在這個(gè)函數(shù)的圖象上，且AB=4$\sqrt{3}$．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在這個(gè)函數(shù)的圖象上，是否存在點(diǎn)P，滿足S_△OAB=S_△PAB？若存在，試求這點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸為y軸、最大值為0設(shè)解析式為y=ax²，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入解析式求得a的值即可；
（2）由S_△OAB=S_△PAB可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入解析式求得x的值即可．

解答 解：（1）如圖，根據(jù)題意，設(shè)拋物線解析式為y=ax²，

∵△OAB為等邊三角形，且AB=OB=4$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，縱坐標(biāo)為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4$\sqrt{3}$=-6，即B（2$\sqrt{3}$，-6），
將點(diǎn)B（2$\sqrt{3}$，-6）代入y=ax²得：12a=-6，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x²；

（2）∵S_△OAB=S_△PAB，
∴點(diǎn)P到AB的距離等于6，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-12，
則-$\frac{1}{2}$x²=-12，
解得：x=2$\sqrt{6}$或x=-2$\sqrt{6}$，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2$\sqrt{6}$，-12）或（-2$\sqrt{6}$，-12）．

點(diǎn)評 本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及等邊三角形的性質(zhì)，由等邊三角形性質(zhì)求得點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．