Question

5．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC為邊在Rt△ABC外作等邊△ABD和△ACE，試判斷△BDH與△AEH是否相似，并說明理由．

Answer 1

分析 首先由在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，證得△BHA∽△AHC，即可得$\frac{BH}{AH}$=$\frac{BA}{AC}$，又由以AB和AC為邊在Rt△ABC外作等邊△ABD和△ACE，可得$\frac{BH}{AH}$=$\frac{BD}{AE}$，∠HBD=∠HAE，則可證得△BDH∽△AEH．

解答 解：相似．
理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠BAH+∠CAH=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB=∠CHA=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠BAH=∠CAH，
∴△BAH∽△ACH，
∴$\frac{BH}{AH}$=$\frac{BA}{AC}$，
∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴BA=BD，AC=AE，∠ABD=∠CAE=60°，
∴$\frac{BH}{AH}$=$\frac{BD}{AE}$，∠HBD=∠HAE，
∴△BDH∽△AEH．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．注意證得△BAH∽△ACH是關(guān)鍵．