Question

【題目】如圖（1），二次函數(shù)y＝ax2﹣bx（a≠0）的圖象與x軸、直線y＝x的交點分別為點A(4，0)、B(5，5)．

（1）a＝　 　，b＝　 　，∠AOB＝　 　°；

（2）連接AB，點P是拋物線上一點（異于點A），且∠PBO＝∠OBA，求點P的坐標(biāo)　 　；

（3）如圖（2），點C、D是線段OB上的動點，且CD＝2．設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m．

①過點C、D分別作x軸的垂線，與拋物線相交于點F、E，連接EF．當(dāng)CF+DE取得最大值時，求m的值并判斷四邊形CDEF的形狀；

②連接AC、AD，求m為何值時，AC+AD取得最小值，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）1，4，45°；（2）(﹣，)；（3）①m＝，四邊形CDEF為平行四邊形；②m=，2

【解析】

（1）將點A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式，即可求解；

（2）證明△HOB≌△AOB（AAS），得OA＝OH＝4，即點H（0，4），即可求解；

（3）①則CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，即可求解；

②如圖所示，過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，當(dāng)A'、D、G三點共線時，A'D+DG＝A'G最短，即可求解．

（1）將點A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，

故二次函數(shù)表達式為：y＝x2+4x，

∵點O，B在直線y=x上，

∴OB平分∠xOy,

∴∠AOB=45；

故：答案為：1，4，45°；

（2）設(shè)直線BP交y軸于點H，

∵∠HOB＝∠AOB＝45°，∠PBO＝∠OBA，BO＝BO，

∴△HOB≌△AOB（AAS），

∴OA＝OH＝4，即點H（0，4），

則直線PB的表達式為：y＝kx+4，將點B坐標(biāo)代入上式并解得：

直線PB的表達式為：y＝x+4，

將上式與二次函數(shù)表達式聯(lián)立并解得：x＝5或﹣（舍去正值），

則點P（﹣，）；

（3）①由題意得：直線OB的表達式為：y＝x，

設(shè)點C（m，m），CD＝2，直線OB的傾斜角為45度，則點D（m+2，m+2），

則點F（m，m2﹣4m），點E[（m+2），（m+2）2﹣4（m+2）]，

則CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，

∵﹣2＜0，故CF+DE有最大值，此時，m＝，

則點C、F、D、E的坐標(biāo)分別為（，）、（，﹣）、（，）、（，﹣），

則CF＝DE＝，CF∥ED，

故四邊形CDEF為平行四邊形；

②如圖所示，過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，

∴AC＝DG，

作點A關(guān)于直線OB的對稱點A'（0，4），連接A'D，則A'D＝AD，

∴當(dāng)A'、D、G三點共線時，A'D+DG＝A'G最短，此時AC+AD最短，

∵A（4，0），AG＝CD＝2，

則點G（6，2），

則AC+AD最小值＝A'G＝＝2；