Question

（2012•西寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，已知A（0，4）、C（5，0）．作∠AOC的角平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過(guò)D作DE⊥DC交OA于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求證：△ADE≌△BCD；
（3）拋物線y=

4

5

x²-

24

5

x+4經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，連接AC．探索：若點(diǎn)P是x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)M．是否存在點(diǎn)P，使線段MP長(zhǎng)度有最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OD平分∠AOC，可得∠ADO=∠DOC，再由AOBC是矩形，進(jìn)一步得到∠AOD=∠ADO，根據(jù)等角對(duì)等邊可得到OA=AD，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）四邊形AOCB是矩形，得到∠OAB=∠B=90°，BC=OA，進(jìn)而證明出AD=BC，再根據(jù)角之間的等量關(guān)系∠ADE=∠BCD，于是可證明出△ADE≌△BCD；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，

4

5

t²-

24

5

t+4），設(shè)AC所在的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，根據(jù)A（0，4）、C（5，0），求出AC的解析式，進(jìn)而用t表示出PM的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PM的最值，點(diǎn)P的坐標(biāo)也可以求出．

解答：（1）解：OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOC，
∵四邊形AOCB是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠ADO=∠DOC，
∴∠AOD=∠ADO，
∴OA=AD（等角對(duì)等邊），
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4），

（2）證明：∵四邊形AOCB是矩形，
∴∠OAB=∠B=90°，BC=OA，
∵OA=AD，
∴AD=BC，
∵ED⊥DC，
∴∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠BDC=90°，
∴∠BDC+∠BCD=90°，
∴∠ADE=∠BCD，
在△ADE和△BCD中，

∠DAE=∠B AD=BC ∠ADE=∠BCD

，
∴△ADE≌△BCD（ASA），

（3）解：存在．
∵二次函數(shù)的解析式為：y=

4

5

x²-

24

5

x+4，點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，

4

5

t²-

24

5

t+4），
設(shè)AC所在的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，A（0，4）、C（5，0），
∴

b=4 5k+4=0

，
∴k=-

4

5

，b=4，
∴直線AC的解析式為y=-

4

5

x+4，
∵PM∥y軸，
設(shè)M（t，-

4

5

t+4），
PM=-（

4

5

t²-

24

5

t+4）+（-

4

5

t+4）
=-

4

5

t²+4t
=-

4

5

（t-

5

2

）²+5，
當(dāng)t=

5

2

時(shí)，PM有最大值為5，
∴所求的P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，此題設(shè)計(jì)了三角形全等的證明，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)最值的求解，難度較大，希望同學(xué)們仔細(xì)思考．