Question

【題目】已知兩個(gè)等腰直角△ABC和△CDE，它們的兩個(gè)直角頂點(diǎn)B、D在直線MN上，過(guò)點(diǎn)A、E分別作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分別為G、F．

(1)如圖1，當(dāng)△ABC和△CDE在△BCD的外部時(shí)，請(qǐng)你探索線段EF、DB、AG之間的數(shù)量關(guān)系，其數(shù)量關(guān)系為______．

(2)如圖2，將圖1中的△ABC沿BC翻折，其他條件不變，那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你給出證明，若不成立，請(qǐng)?zhí)剿魉鼈兊臄?shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)BD＝EF+AG；(2)成立，證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）結(jié)論：BD=EF+AG．只要證明△FDE≌△HCD（AAS），可得EF=DH，同理可證：△BHC≌△AGB，可得AG=BH，即可解決問(wèn)題；
（2）結(jié)論不變，證明方法類(lèi)似；

解：(1)結(jié)論：BD＝EF+AG．

理由：如圖1中，作CH⊥MN于H．

∵EF⊥MN，AG⊥MN，

∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，

∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，

∴∠EDF＝∠DCH，

∵DE＝DC，

∴△FDE≌△HCD(AAS)，

∴EF＝DH，

同理可證：△BHC≌△AGB，

∴AG＝BH，

∴BD＝EF+AG．

故答案為BD＝EF+AG．

(2)結(jié)論成立．

理由：如圖2中，作CH⊥MN于H．

∵EF⊥MN，AG⊥MN，

∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，

∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，

∴∠EDF＝∠DCH，

∵DE＝DC，

∴△FDE≌△HCD(AAS)，

∴EF＝DH，

同理可證：△BHC≌△AGB，

∴AG＝BH，

∴BD＝EF+AG．

故答案為BD＝EF+AG．