Question

如圖（1），E是正方形ABCD的邊BC上的一個點（E與B、C兩點不重合），過點E作射線EP⊥AE，在射線EP上截取線段EF，使得EF=AE；過點F作FG⊥BC交BC的延長線于點G．

（1）求證：FG=BE；

（2）連接CF，如圖（2），求證：CF平分∠DCG；

（3）當時，求sin∠CFE的值．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE與三角形EFG全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證.

（2）由（1）得到BC=AB=EG，利用等式的性質(zhì)得到BE=CG，根據(jù)FG=BE，等量代價得到FG=CG，即三角形FCG為等腰直角三角形，得到∠FCG=45°，即可得證.

（3）如答圖，作CH⊥EF于H，則△EHC∽△EGF，利用相似得比例，根據(jù)BE與BC的比值，設(shè)出BE，EC，以及EG，F(xiàn)G，利用勾股定理表示出EF，CF，進而表示出HC，在直角三角形HC中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出sin∠CFE的值．

試題解析：【解析】
（1）證明：∵EP⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°.

又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE.

又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°.

在△ABE與△EGF中，∵，

∴△ABE≌△EGF（AAS）.∴FG=BE.

（2）證明：由（1）知：BC=AB=EG，∴BC﹣EC=EG﹣EC. ∴BE=CG.

又∵FG=BE，∴FG=CG.

又∵∠CGF=90°，∴∠FCG=45°=∠DCG .

∴CF平分∠DCG .

（3）如答圖，過點C作CH⊥EF于點H，

∵∠HEC=∠GEF，∠CHE=∠FGE=90°，

∴△EHC∽△EGF. ∴.

∵，∴可設(shè)BE=3a，則EC=3a，EG=4a，F(xiàn)G=CG=3a，

∴EF=5a，CF=a.

∴，即HC=a.

∴sin∠CFE=．

考點：1.四邊形綜合題；2. 正方形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定和性質(zhì)；4. 等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6. 銳角三角函數(shù)定義.