Question

3．如圖，有一圓錐形糧倉，其正視圖為邊長(zhǎng)是4m的正△ABC，糧倉母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食．此時(shí)，小貓正在點(diǎn)B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)點(diǎn)P處捕捉老鼠，則小貓經(jīng)過的最短路程為（　�。�

• A． 5m
• B． $3\sqrt{5}$m
• C． 6m
• D． $2\sqrt{5}$m

Answer 1

分析 求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問題．根據(jù)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4m的等邊三角形可知，展開圖是半徑是4的半圓．點(diǎn)B是半圓的一個(gè)端點(diǎn)，而點(diǎn)P是平分半圓的半徑的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)B和P在展開圖中的距離，就是這只小貓經(jīng)過的最短距離．

解答 解：∵有一圓錐形糧倉，其正視圖為邊長(zhǎng)是4m的正△ABC，
∴圓錐的底面周長(zhǎng)是4π，則4π=$\frac{nπ×4}{180}$，
∴n=180°，即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180°．
則在圓錐側(cè)面展開圖中AP=2，AB=4，∠BAP=90°．
∴在圓錐側(cè)面展開圖中BP=$\sqrt{{AB}^{2}+{AP}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$m．
故小貓經(jīng)過的最短距離是2$\sqrt{5}$m．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平面展開-最短路線問題，根據(jù)題意畫出圓錐的側(cè)面展開圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．