Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，BE⊥CD，垂足為E，連接AC、BC．
（1）△ABC的形狀是______，理由是______；
（2）求證：BC平分∠ABE；
（3）若∠A=60°，OA=2，求CE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABC是直角三角形，直徑所對的圓周角是直角．
（2）由∠ACB是直角，BE⊥CD，且OC=OB，可證BC平分∠ABE；
（3）∠A=60°，可得∠ABC=∠CBE=30°，OA=2，所以，BC=2，所以在直角三角形CBE中，CE=BC=．
解答：（1）解：根據(jù)圓周角定理，可得，△ABC是直角三角形，因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角．

（2）證明：∵∠ACB是直角，BE⊥CD，CD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，
∴OC⊥DE，
∴CO∥BE，
∴∠OCB=∠EBC，
又∵且OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC；
∴∠OBC=∠EBC，
∴BC平分∠ABE；

（3）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=60°，OA=2，
∴AB=4，
∴BC=AB•sin60°=4×=2，
∴CE=BC=．
故答案為：（1）直角三角形；直徑所對的圓周角是直角．（3）CE等于．
點(diǎn)評：本題考查了直角三角形、切線及圓周角的性質(zhì)定理，本題綜合性較強(qiáng)，熟記且能運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．