Question

如圖，在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（A、B兩點(diǎn)除外），過(guò)E、B、C三點(diǎn)的圓與BD相交于點(diǎn)F．求證：EF⊥FC且EF=FC．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),圓周角定理

專(zhuān)題：證明題

分析：連結(jié)EC，根據(jù)正方形的性質(zhì)和圓周角定理可得CE是圓的直徑，從而得到EF⊥FC，再根據(jù)∠FEC=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到EF=FC，從而得證．

解答：證明：連結(jié)EC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EBC=90°，
∴CE是圓的直徑，
∴∠EFC=90°，
∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，
∴∠DBC=45°，
∴∠FEC=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF=FC．
故EF⊥FC且EF=FC．

點(diǎn)評(píng)：考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理，本題關(guān)鍵是證明△EFC是等腰直角三角形．