Question

【題目】如圖1，已知直線和直線交于軸上一點(diǎn)，且分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，且.

（1）求的值；

（2）如圖1，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且在軸上方，當(dāng)時(shí)，在線段上取一點(diǎn)，使得，點(diǎn)分別為軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折至，求的最小值；

（3）如圖2，分別為射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接是否存在這樣的點(diǎn)，使得為等腰三角形，為直角三角形同時(shí)成立.請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或或

【解析】

（1）首先由已知得出點(diǎn)B和C的坐標(biāo)，即可得出直線AC的解析式，然后得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入直線AB，即可得出的值；

（2）首先根據(jù)△ACD的面積求出點(diǎn)D坐標(biāo)，然后由得出點(diǎn)F的坐標(biāo)和CF，若使有最小值,則M、C′、D在一條直線上，作F和C′關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)F′和C′′，根據(jù)D和F′的坐標(biāo)得出DF′，然后即可得解；

（3）若使得為等腰三角形，為直角三角形同時(shí)成立，則分情況求解，H在AC上和AC的延長(zhǎng)線上，根據(jù)平行線成比例和相似三角形的性質(zhì)，列出方程，即可得出P坐標(biāo).

（1）由已知，得

∵，C在軸正半軸，B在軸負(fù)半軸

∴

即

∴直線，直線

∴，將其代入直線AB，

∴

（2）∵點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為

∴

即

∴，即D

∵

∴,即C′在以CF為半徑的圓上，

若使有最小值,則M、C′、D在一條直線上，作F和C′關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)F′和C′′，如圖所示，則，

∴

∴

（3）根據(jù)題意，分情況求解：

①

若PH⊥OA，則HP=HC，HP∥CN

∴

設(shè)H（x，y）可得

,

∴

②

若PH⊥AC，則HP=HC，

∴△APH∽△ACO

∴

設(shè)，可得

∴

∴

∴

③

若PH⊥OA，∠H=∠ACO=60°

∴HP=HC=PC

∴

設(shè)H（x，y）可得

∴

故滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或或.