Question

如圖，△ABC中，∠BAC為直角，AD是邊BC上的中線，過點A作AE∥BC，過點D作DE∥AB，DE與AC、AE分別交于點O、點E，連接EC．
（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）若AB=AO，求tan∠OAD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證四邊形ABDE是平行四邊形，再證四邊形ADCE是平行四邊形，即得AD=CE；再由∠BAC=90°，AD上斜邊BC上的中線，即得AD=BD=CD，證得四邊形ADCE是平行四邊形，即證；
（2）利用（1）的結論和三角形中位線的性質即可求出tan∠OAD的值．
解答：解：（1）證明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE∥BD且AE=BD，
又∵AD是邊BC上的中線，
∴BD=CD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形
∴AD=EC，
又∵∠BAC=90°，AD上斜邊BC上的中線，
∴AD=BD=CD
又∵四邊形ADCE是平行四邊形
∴四邊形ADCE是菱形；

（2）∵四邊形ADCE是菱形，
∴AO=CO，∠AOD=90°
又∵BD=CD，
∴OD是△ABC的中位線，則OD=AB，
∵AB=AO，
∴OD=AO，
∴在Rt△OAD中，tan∠OAD=．
點評：本題考查了平行四邊形和菱形的判定和性質以及直角三角形的性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）和正切定義的考查，銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA==．