Question

14．如圖，拋物線y=-$\frac{2}{9}$x²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），點C（0，4），作CD∥x軸交拋物線于點D，作DE⊥x軸，垂足為E，動點M從點E出發(fā)在線段EA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時動點N從點A出發(fā)在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當(dāng)一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)△DMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）①當(dāng)MN∥DE時，直接寫出t的值；
②在點M和點N運動過程中，是否存在某一時刻，使MN⊥AD？若存在，直接寫出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=-$\frac{2}{9}$x²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），點C（0，4），可以求得b、c的值，從而可以求得拋物線的解析式；
（2）要求△DMN的面積，根據(jù)題目中的信息可以得到梯形AEDC的面積、△ANM的面積、△MDE的面積、△CND的面積，從而可以解答本題；
（3）①根據(jù)MN∥DE，可以得到△AMN和△AOC相似，從而可以求得t的值；
②根據(jù)題目中的條件可以求得點N、點M、點A、點D的坐標(biāo)，由AD⊥MN可以求得相應(yīng)的t的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{2}{9}$x²+bx+c經(jīng)過點A（-3，0），點C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{9}×（-3）^{2}+b×（-3）+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
即拋物線的解析式為：y═-$\frac{2}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+4；
（2）作NH⊥AM于點H，如由圖1所示，
∵y═-$\frac{2}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+4，
∴對稱軸x=-$\frac{\frac{2}{3}}{2×（-\frac{2}{9}）}$=$\frac{3}{2}$，
∵點A（-3，0），點C（0，4），CD∥x軸交拋物線于點D，DE⊥x軸，垂足為E，
∴點D（3，4），點E（3，0），OA=3，OC=4，
∴AC=5，AE=6，CD=3，
∵NH⊥AM，AN=t，ME=2t，
∴△ANH∽△ACO，AM=6-2t，
∴$\frac{AN}{AC}=\frac{NH}{CO}$，
即$\frac{t}{5}=\frac{NH}{4}$，得NH=0.8t，
∴S=S_梯形AECD-S_△AMN-S_△DME-S_△CDN
=$\frac{1}{2}（3+6）×4-\frac{1}{2}×（6-2t）×0.8t$$-\frac{1}{2}×2t×4-\frac{1}{2}×3×（4-0.8t）$
=0.8t²-5.2t+12，
即S與t的函數(shù)關(guān)系式是S=0.8t²-5.2t+12（0＜t≤3）；
（3）①當(dāng)MN∥DE時，t的值是$\frac{30}{13}$，
理由：如右圖2所示
∵MN∥DE，AE=6，AC=5，AO=3，
∴AM=6-2t，AN=t，△AMN∽△AOC，
∴$\frac{AM}{AO}=\frac{AN}{AC}$，
即$\frac{6-2t}{3}=\frac{t}{5}$，
解得，t=$\frac{30}{13}$；
②存在某一時刻，使MN⊥AD，此時t的值是$\frac{90}{47}$，
理由：如右圖3所示，
設(shè)過點A（-3，0），C（0，4）的直線的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
即直線AC的解析式為y=$\frac{4}{3}x+4$，
∵NH=0.8t，
∴點N的縱坐標(biāo)為0.8t，
將y=0.8t代入y=$\frac{4}{3}x+4$得x=0.6t-3，
∴點N（0.6t-3，0.8t）
∵點E（3，0），ME=2t，
∴點M（3-2t，0），
∵點A（-3，0），點D（3，4），點M（3-2t，0），點N（0.6t-3，0.8t），AD⊥MN，
∴$\frac{4-0}{3-（-3）}•\frac{0.8t-0}{（0.6t-3）-（3-2t）}=-1$，
解得，t=$\frac{90}{47}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，運用三角形的相似，數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．