Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)為A，與y軸的交點(diǎn)為B，連結(jié)AB，AC⊥AB，交y軸于點(diǎn)C，延長CA到點(diǎn)D，使AD=AC，連結(jié)BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．

（1）當(dāng)m=2時，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求DE的長？

（3）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？②過點(diǎn)D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數(shù)圖象的另一個交點(diǎn)為P，當(dāng)m為何值時，以，A，B，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當(dāng)m=2時，，

把x=0代入，得：y=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）。

（2）延長EA，交y軸于點(diǎn)F，

∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，

∴△AFC≌△AED（AAS）�！郃F=AE。

∵點(diǎn)A（m，），點(diǎn)B（0，m），

∴AF=AE=|m|，，

∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，

∴△ABF∽△DAE，∴，即：�！郉E=4。

（3）①∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2m，）。

∴x=2m，y=，

∴y=，

∴所求函數(shù)的解析式為：y=。

②作PQ⊥DE于點(diǎn)Q，則△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）當(dāng)四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖1），

圖1

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3m，

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：，

把P（3m，）代入y=得：

。

解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=8。

（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖2），

圖2

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：，

把P（m，）代入得：

。

解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=﹣8。

綜上所述：m的值為8或﹣8。

【解析】（1）將m=2代入原式，得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，據(jù)此即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）延長EA，交y軸于點(diǎn)F，證出△AFC≌△AED，進(jìn)而證出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性質(zhì)，求出DE=4。

（3）①根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，得到x=2m，y=﹣m²+m+4，將m=代入y=﹣m²+m+4，即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式。

②作PQ⊥DE于點(diǎn)Q，則△DPQ≌△BAF，然后分（如圖1）和（圖2）兩種情況解答。