Question

如圖，⊙O₁、⊙O₂相交于P、Q兩點，其中⊙O₁的半徑r₁=2，⊙O₂的半徑r₂=．過點Q作CD⊥PQ，分別交⊙O₁和⊙O₂于點C．D，連接CP、DP，過點Q任作一直線AB交⊙O₁和⊙O₂于點A．B，連接AP、BP、AC．DB，且AC與DB的延長線交于點E．

（1）求證：；

（2）若PQ=2，試求∠E度數(shù)．

Answer 1

考點：相交兩圓的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形。

解答：（1）證明：∵⊙O₁的半徑r₁=2，⊙O₂的半徑r₂=，

∴PC=4，PD=2，

∵CD⊥PQ，

∴∠PQC=∠PQD=90°，

∴PC．PD分別是⊙O₁、⊙O₂的直徑，

在⊙O₁中，∠PAB=∠PCD，

在⊙O₂中，∠PBA=∠PDC，

∴△PAB∽△PCD，

∴===，

即=．

（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r₁=4，PQ=2，

∴cos∠CPQ=，

∴∠CPQ=60°，

∵在Rt△PDQ中，PD=2r₂=2，PQ=2，

∴sin∠PDQ=，

∴∠PDQ=45°，

∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，

又∵PD是⊙O₂的直徑，

∴∠PBD=90°，

∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°

在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°，

答：∠E的度數(shù)是75°．