Question

【題目】如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF＝BD，連接BF．

（1）求證：D是BC的中點；

（2）若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）若AB＝AC，則四邊形AFBD是矩形．理由見解析

【解析】

（1）先說明∠AFE=∠DCE，再證明△AEF和△DEC全等，最后根據全等三角形的性質和等量關系即可證明；

（2）由（1）可得AF平行且等于BD，即四邊形AFBD是平行四邊形；再利用等腰三角形三線合一，可得AD⊥BC，即∠ADB=90°，即可證明四邊形AFBD是矩形．

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE，

∵點E為AD的中點，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF＝CD，

∵AF＝BD，

∴CD＝BD，

∴D是BC的中點；

（2）解：若AB＝AC，則四邊形AFBD是矩形．理由如下：

∵△AEF≌△DEC，

∴AF＝CD，

∵AF＝BD，

∴CD＝BD；

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴∠ADB＝90°，

∴平行四邊形AFBD是矩形．