Question

直線y=-

3

4

x+6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止．點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)P沿路線O→B→A運(yùn)動(dòng)．
（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)S=

48

5

時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）分別令y=0，x=0，即可求出A、B的坐標(biāo)；
（2）因?yàn)镺A=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，進(jìn)而可求出點(diǎn)Q由O到A的時(shí)間是8秒，點(diǎn)P的速度是2，從而可求出，
當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)（或0≤t≤3）時(shí)，OQ=t，OP=2t，S=t²，當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)（或3＜t≤8）時(shí)，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于點(diǎn)D，由相似三角形的性質(zhì)，得PD=

48-6t

5

，利用S=

1

2

OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S=

48

5

，求出t的值，進(jìn)而求出OD、PD，即可求出P的坐標(biāo)，利用平行四邊形的對邊平行且相等，結(jié)合簡單的計(jì)算即可寫出M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0），B（0，6），

（2）∵OA=8，OB=6，
∴AB=10．
∵點(diǎn)Q由O到A的時(shí)間是

8

1

=8（秒），
∴點(diǎn)P的速度是

6+10

8

=2（單位長度/秒）．
當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)（或O≤t≤3）時(shí)，
OQ=t，OP=2t，S=t²．
當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)（或3＜t≤8）時(shí)，
OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，
如圖，過點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，
由

PD

BO

=

AP

AB

，得PD=

48-6t

5

．
∴S=

1

2

OQ•PD=-

3

5

t2+

24

5

t．

（3）當(dāng)S=

48

5

時(shí)，∵

48

5

＞

1

2

×3×6，∴點(diǎn)P在AB上
當(dāng)S=

48

5

時(shí)，-

3

5

t2+

24

5

t=

48

5

∴t=4
∴PD=

48-6×4

5

=

24

5

，AP=16-2×4=8
AD=

82-( 24 5 )2

=

32

5

∴OD=8-

32

5

=

8

5

∴P（

8

5

，

24

5

）
M₁（

28

5

，

24

5

），M₂（-

12

5

，

24

5

），M₃（

12

5

，-

24

5

）

點(diǎn)評：本題需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖象，利用函數(shù)解析式即可解決問題．