Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸．
（2）連接BC，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？
②△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）現(xiàn)有一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心，

10

4

長(zhǎng)為半徑的圓沿y軸正半軸方向向上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，問(wèn)幾秒后⊙O與直線AC相切？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）已知了拋物線的解析式，當(dāng)y=0時(shí)可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸x=-

b

2a

可得出對(duì)稱(chēng)軸的解析式．
（2）①PF的長(zhǎng)就是當(dāng)x=m時(shí)，拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差．可先根據(jù)B，C的坐標(biāo)求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長(zhǎng)．根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式，可求出DE的長(zhǎng)，然后讓PF=DE，即可求出此時(shí)m的值．
②可將三角形BCF分成兩部分來(lái)求：一部分是三角形PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標(biāo)為高即可得出三角形PFC的面積．一部分是三角形PFB，以PF為底邊，以P、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，即可求出三角形PFB的面積．然后根據(jù)三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積，可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，由此可求出S的最大值；
（3）設(shè)⊙O與直線AC相切于點(diǎn)E，連O′E，則O′E⊥AC，得到△ACO∽△O′CE，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式即可求得x的值．

解答：解：（1）設(shè)0=-x²+2x+3，
解得：x=-1或3，
∵拋物線y=-x²+2x+3與x相交于AB（點(diǎn)A點(diǎn)B左側(cè)），
∴A（-1，0），B（3，0），
∵拋物線與y軸相交于點(diǎn)C，
∴C（0，3），
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是：直線x=1．  

（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分別代入，
得

3k+b=0 b=3

，解得：k=-1，b=3
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3．
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，∴E（1.2）．
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m+3，∴P（m，-m+3）
在y=-x²+2x+3中，當(dāng)x=1時(shí)，y=4，∴D（1，4）．
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴線段DE=4-2=2，
線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
∵PF∥DE
∴當(dāng)PF=DE時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．
由-m²+3m=2，解得m=2或m=1（不合題意，舍去）．
因此，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3．
∵S=S_△EPF+S_△CPF，
即S=

1

2

PF•BM+

1

2

PF•OM
=

1

2

PF（BM+OM）
=

1

2

PF•OB，
∴S=

1

2

×3（-m²+3m）=-

3

2

m²+

9

2

m（0≤m≤3）
∴當(dāng)m=-

9 2

2×(- 3 2 )

=

3

2

時(shí)
S最大值=

27

8

；

（3）如圖，設(shè)⊙O與直線AC相切于點(diǎn)E，連O′E，則O′E⊥AC，
∵AO⊥CO，
∴∠O′EC=∠COA=90°
∵∠ACO=∠ECO，
∴△ACO∽△O′CE，
∴

AC

OC

=

OA

OE

，
由（1）得AO=1，CO=3，AC=

10

，
設(shè)x秒后⊙0與AC相切，
則OO′=x，CO′=|3-x|，
∴

10

|3-x|

=

1

10 4

，
解得：x=0.5或5.5，
∴0.5或5.5秒后⊙O與直線AC相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)得出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的解析式是解題的基礎(chǔ)，其中用到的知識(shí)點(diǎn)有平行四邊形的判定和性質(zhì)、解一元二次方程、用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，三角形面積公式的運(yùn)用．