Question

19．閱讀下列材料：
春節(jié)回家是中國人的一大情結(jié)，春運車票難買早已是不爭的事實．春節(jié)回家一般都要給父母、親戚帶點年貨，坐車回去不好攜帶，加上普通小客車中簽率低以及重大節(jié)假日高速公路小客車免費通行等因素，所以選擇春節(jié)租車回家的人越來越多．這都對汽車租賃市場起到明顯的拉動作用，出現(xiàn)了很多的租賃公司．
某租賃公司擁有20輛小型汽車，公司平均每日的各項支出共6250元．當每輛車的日租金為500元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛．
根據(jù)以上材料解答下列問題：
設(shè)公司每日租出x輛車時，日收益為y元（日收益=日租金收入-平均每日各項支出）．
（1）公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金收入為1500-50x元（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）當每日租出多少輛時，租賃公司日收益最大？最大是多少元？
（3）當每日租出多少輛時，租賃公司的日收益才能盈利？

Answer 1

分析 （1）公司每日租出x輛車，則有20-x輛車沒有租出，則租金每輛增加50（20-x）輛，據(jù)此即可求解；
（2）把收益表示成x的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)值的最大值即可；
（3）當租賃公司的日收益不盈也不虧時，即y=0，首先求得當y=0時對應(yīng)的x的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定x的值．

解答 解：（1）每輛車的日租金是500+50（20-x）=1500-50x（0≤x≤20，x為整數(shù)）．
（2）∵日租金收入=每輛車的日租金×日租出車輛的數(shù)量，
∴日租金收入=x（1500-50x）．
又∵日收益=日租金收入-平均每日各項支出，
∴y=x（1500-50x）-6250
=-50x²+1500x-6250=-50（x-15）²+5000．
∵租賃公司擁有20輛小型汽車，
∴0≤x≤20．
∴當x=15時，y有最大值5000．
∴當日租出15輛時，租賃公司的日收益最大，最大值為5000元．
（3）當租賃公司的日收益不盈也不虧時，即y=0．
∴-50（x-15）²+5000=0，解得x₁=25，x₂=5．
∴當5＜x＜25時，y＞0．
∵租賃公司擁有20輛小型汽車，
∴當每日租出5＜x≤20（x為整數(shù)）輛時，租賃公司的日收益才能盈利．

點評 本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用．此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題，實際問題中的求最值問題常用的方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，求函數(shù)的最值．