Question

已知：拋物線y=a（x-2）²+b（ab<0）的頂點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)為B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）。
（1）直接寫出拋物線對(duì)稱軸方程；
（2）若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且△ABC為直角三角形，求a，b的值；
（3）若D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，請(qǐng)寫出a，b滿足的關(guān)系式；若不能，說明理由。

Answer 1

解：（1）拋物線對(duì)稱軸方程：x=2； （2）設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)E，則E（2，0）， ∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)， ∴B（0，0），C（4，0） ∵△ABC為直角三角形，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知AB=AC， ∴AE=BE=EC， ∴A（2，-2）或（2，2）， 當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A（2，-2）時(shí)，， 把（0，0）代入，得：，此時(shí)b=-2， 當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A（2，2）時(shí)，， 把（0，0）代入，得：，此時(shí)b=2， ∴，b=-2或，，b=2； （3）依題意，B、C關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱， 當(dāng)A，D也關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，且BE=AE時(shí)， 四邊形ABDC是正方形， ∵， ∴， ∴， 把代入，得ab2+b=0， ∵b≠0， ∴ab=-1。