Question

9．如圖，拋物線y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，作垂直于x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交拋物線于N，當(dāng)MN有最大值時(shí)，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 拋物線y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2分別交y軸、x軸于A（0、2）、B（4、0））兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，假設(shè)x=t時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度是否存在最大值，可得M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），則可得MN=（-t²+$\frac{7}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可求得答案．

解答 解：∵拋物線y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，
∴A（0、2）、B（4、0））兩點(diǎn)，
∴設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴直線為：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
假設(shè)x=t時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度存在最大值，
由題意易得：M（t，-$\frac{1}{2}$t+2），N（t，-t²+$\frac{7}{2}$t+2），
∴MN=（-t²+$\frac{7}{2}$t+2）-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4；
由題意可知，D的可能位置有如圖三種情形，
當(dāng)D在y軸上時(shí)，
設(shè)D的坐標(biāo)為（0，a）
由AD=MN得|a-2|=4，
解得a₁=6，a₂=-2，
∴D為（0，6）或D（0，-2）
當(dāng)D不在y軸上時(shí)，由圖可知D為D₁N與D₂M的交點(diǎn)，
∵直線D₁N的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+6，直線D₂M的解析式為：y=$\frac{3}{2}$x-2，
由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4），
綜上可得：所求的D為（0，6），（0，-2）或（4，4）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值問(wèn)題以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，綜合性強(qiáng)，注意掌握方程思想、分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．