Question

【題目】在中，，， 是的角平分線．

（1）如圖 1，求證：；

（2）如圖 2，作的角平分線交線段于點(diǎn)，若，求的面積；

（3）如圖 3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與 重合），以為一邊，在 的下方作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，試探究線段,與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的面積=；（3）若點(diǎn)在上時(shí)，，理由見解析；若點(diǎn)在上時(shí)，，理由見解析．

【解析】

（1）利用角平分線的性質(zhì)，證得，再證得，在中，利用角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半即可證得結(jié)論；　

（2）作，先證得，在和中，分別利用角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半求得BC和CD的長(zhǎng)，從而求得的長(zhǎng)，即可求得的面積；

（3）分兩種情況討論，點(diǎn)在上和點(diǎn)在上時(shí)，采用補(bǔ)短的方法，利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明．

（1）在中，，，

∴，

∵是的角平分線，

∴，

∴，

在中，，，

∴，

∴；

（2）如圖2，過點(diǎn)作，

由(1)得，

∵平分，

，

，

，

，

在中，，，，

，

，

在中，，，

，

，

，

∴的面積；

（3）若點(diǎn)在上時(shí)，，

理由如下：如圖3所示：延長(zhǎng)使得，連接，

，是的角平分線，于點(diǎn)，

，

，且，

是等邊三角形，

，

，

在和中，

，

，

，

；

（3）若點(diǎn)在上時(shí)，，

理由如下：如圖4，延長(zhǎng)至，使得，連接，

由（1）得，

∵于點(diǎn)，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，

，

，

，

即，

在和中，

，

，

，

，

．