Question

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AC、BC上，BD、AE交于點F，連接FC，∠BAC=∠BFE=2∠EFC．
（1）如圖1，當∠BAC=90°時，則線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系為BF=$\sqrt{2}$CF；
（2）如圖2，當∠BAC=60°時，求證：BF=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$FC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，將△ACE沿AE翻折，使點C與點G重合，AG分別交BC、BD于M、N，若MG=$\sqrt{7}$，求FC的長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：BF=$\sqrt{2}$CF，如圖1中，將△AEC沿AE折疊得到△AEG，連接GF、GE，延長AE、BG交于點H，連接CH，只要證明△BFH是等腰直角三角形即可解決問題．
（2）如圖2中，將△AEC沿AE折疊得到△AEG，連接GF、GE，延長AE、BG交于點H，連接CH，只要證明△BFH是等邊三角形即可．
（3）首先證明∠FCH=90°，由BF∥CH，得$\frac{CH}{BF}$=$\frac{CE}{BE}$，由FH=2CH，推出BE=2CE，設EC=EG=a，則BC=AC=AG=3a，由△MGE∽△MBE，推出$\frac{EG}{AB}$=$\frac{MG}{MB}$=$\frac{1}{3}$，推出BM=3$\sqrt{7}$，由$\frac{EM}{AM}$=$\frac{MG}{MB}$，推出AM=3ME，列出方程即可求出a，由（2）可知BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CF，設CF=x，則BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，在RT△BFC中，根據(jù)BF²+CF²=BC²，列出方程即可解決問題．

解答 （1）解：結(jié)論：BF=$\sqrt{2}$CF，
理由：如圖1中，將△AEC沿AE折疊得到△AEG，連接GF、GE，延長AE、BG交于點H，連接CH．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACE=∠AGE=∠ABE，
∴A、B、G、E四點共圓，
∴∠GBE=∠GAE=∠CAE，
∴A、B、H、C四點共圓，
∴∠AHB=∠ACB=45°，
∵∠BFH=∠BAC=90°，
∴∠FBH=∠FHB=45°，
∵∠CFE=∠HFG=45°，
∴∠GFB=∠GFH=45°，
∴FG⊥BH，
在RT△BFG中，∵∠FBG=∠BFG=45°，
∴tan45°=$\frac{FG}{BF}$，
∴BF=$\sqrt{2}$FG，
∵FG=FC
∴BF=$\sqrt{2}$CF．
故答案為BF=$\sqrt{2}$CF．
（2）證明：如圖2中，將△AEC沿AE折疊得到△AEG，連接GF、GE，延長AE、BG交于點H，連接CH．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ACE=∠AGE=∠ABE，
∴A、B、G、E四點共圓，
∴∠GBE=∠GAE=∠CAE，
∴A、B、H、C四點共圓，
∴∠AHB=∠ACB=60°，
∵∠BFH=∠BAC=60°，
∵∠CFE=∠HFG=30°，
∴∠BFG=∠GFH=30°，
∴FG⊥BH，
在RT△BFG中，∵sin60°=$\frac{FG}{BF}$，
∴BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$FG，
∵FG=FC，
∴BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CF．
（3）如圖2中，由（2）可知△BFH是等邊三角形，
∵A、B、H、C四點共圓，
∴∠AHC=∠ABC=60°，
∵∠HFC=30°，
∴∠FCH=90°，
∵∠BFC+∠HCF=180°，
∴BF∥CH，
∴$\frac{CH}{BF}$=$\frac{CE}{BE}$，
∵FH=2CH，
∴BE=2CE，設EC=EG=a，則BC=AC=AG=3a，
∵∠ABM=∠MGE，∠BMA=∠GME，
∴△MGE∽△MBE，
∴$\frac{EG}{AB}$=$\frac{MG}{MB}$=$\frac{1}{3}$，
∵GM=$\sqrt{7}$，
∴BM=3$\sqrt{7}$，
∵$\frac{EM}{AM}$=$\frac{MG}{MB}$，
∴AM=3ME，
∴3a-$\sqrt{7}$=3（3a-3$\sqrt{7}$-a），
∴a=$\frac{8}{3}$$\sqrt{7}$，
∴BC=3a=8$\sqrt{7}$，
由（2）可知BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$CF，設CF=x，則BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
在RT△BFC中，∵BF²+CF²=BC²，
∴（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x）²+x²=（8$\sqrt{7}$）²，
解得x=±8$\sqrt{3}$，
∵x＞0，
∴x=8$\sqrt{3}$，
∴CF=8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查翻折變換、四點共圓、等邊三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)、30度角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用翻折變換添加輔助線，學會利用參數(shù)解決問題，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．