Question

12．Rt△ABC中，A∠BAC=90°，邊BC所在直線下方有一點D，連接BD，AD，CD，過點D作DM⊥AC，垂足為M，若AD²=2AB×DM．

（1）求證：AB=BD；
（2）過點A作BC的垂線交BC于E，交射線BD于G，沿BC折疊∠BCD得到∠BCF，射線CF交射線DE于點F，連接BF，判斷線段BF，BG，DG的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長AB到K，使AB=BK，連接DK，則有AK=2AB，由已知等式，將2AB代換為AK，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形ADK與三角形DMA相似，利用相似三角形對應角相等得到∠ADK為直角，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證；
（2）BF=BG+DG或BF=BG-DG，理由為：利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ABE與三角形CBA相似，由相似得比例，等量代換后利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形BDE與三角形BCD相似，利用相似三角形對應角相等，得到四邊形FBDC對角互補，即F，B，D，C四點共圓，利用同弧所對的圓周角相等得到一對角相等，等量代換后，利用等角對等邊得到BF=BD，分兩種情況考慮：當G在BD上與G在BD的延長線上，即可得證．

解答 （1）證明：如圖1，延長AB到K，使AB=BK，連接DK，則有AK=2AB，

∵AD²=2AB×DM，
∴AD²=AK×DM，即$\frac{AD}{AK}$=$\frac{DM}{AD}$，
∵DM⊥AC，
∴∠DMC=∠BAC=90°，
∴AB∥DM，
∴∠KAD=∠ADM，
∴△ADK∽△DMA，
∴∠ADK=∠AMD=90°，
∴BD為斜邊AB上的中線，
∴BD=BA；
（2）解：BF=BG+DG或BF=BG-DG，理由為：
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°=∠BAC，
∵∠ABE=∠CBA，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，
∵AB=BD，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵∠EBD=∠DBC，
∴△BDE∽△BCD，
∴∠BDE=∠BCD，
∵∠BCD=∠BCF，
∴∠BDE=∠BCF，
∴四邊形FBDC對角互補，即F，B，D，C四點共圓，
∴∠BFD=∠BCD，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BF=BD，
分兩種情況考慮：
①如圖2（1），當G在BD上時，BF=BG+DG；

②如圖2（2），當G在BD延長線上時，BF=BG-DG．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，四點共圓的條件，圓周角定理，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．