Question

已知，如圖矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此矩形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF．
（1）求證：BE=BF．
（2）求△ABE的面積．
（3）求折痕EF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）由翻折得出∠BEF=∠DEF，由AD∥BC得出∠BFE=∠DEF，進(jìn)一步得出∠BEF=∠BFE求得結(jié)論；
（2）設(shè)AE=x，則BE=DE=9-x，根據(jù)勾股定理求得AE，進(jìn)一步求△ABE的面積；
（3）先判定三角形BDE是等腰三角形，再根據(jù)勾股定理及三角形相似的性質(zhì)計(jì)算．

解答：（1）證明：∵將矩形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF．
∴∠BEF=∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF．

（2）解：設(shè)AE=x，則BE=DE=9-x，
由勾股定理得：x²+3²=（9-x）²，
解得：x=4，
則S_△ABE=

1

2

AB•AE=6cm²．

（3）連接BD，交EF于點(diǎn)G，
由折疊的性質(zhì)知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，
則△BDE是等腰三角形，
由等腰三角形的性質(zhì)：頂角的平分線是底邊上的高，是底邊上的中線，
∴BG=GD，BD⊥EF，
則點(diǎn)G是矩形ABCD的中心，
所以點(diǎn)G也是EF的中點(diǎn)，
由勾股定理得，BD=3

10

，BG=

3

2

10

，
∵BD⊥EF，
∴∠BGF=∠C=90°，
∵∠DBC=∠DBC，
∴△BGF∽△BCD，
則有GF：CD=BG：CB，
求得GF=

10

2

，
∴EF=

10

．

點(diǎn)評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)求解．