Question

如圖1，已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（4，4）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）將直線(xiàn)OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，且∠NBO=∠ABO，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（4）在（2）與（3）的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足△POD∽△NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案即可；
（2）根據(jù)已知條件可求出OB的解析式為y=x，則向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為：y=x-m．由于拋物線(xiàn)與直線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)N（n，

1

4

n+3），又點(diǎn)N在拋物線(xiàn)y=x²-3x上，代入拋物線(xiàn)的解析式即可求出n的值，進(jìn)而得到N的坐標(biāo)；
（4）首先求出直線(xiàn)A′B的解析式，進(jìn)而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，進(jìn)而求出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，再利用翻折變換的性質(zhì)得出另一點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（4，4）
∴將A與B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

9a+3b=0 16a+4b=4

，
解得：

a=1 b=-3

．
∴拋物線(xiàn)的解析式是y=x²-3x．

（2）設(shè)直線(xiàn)OB的解析式為y=k₁x，由點(diǎn)B（4，4），
得：4=4k₁，
解得：k₁=1．
∴直線(xiàn)OB的解析式為y=x，
∴直線(xiàn)OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為：y=x-m，
∵點(diǎn)D在拋物線(xiàn)y=x²-3x上，
∴可設(shè)D（x，x²-3x），
又∵點(diǎn)D在直線(xiàn)y=x-m上，
∴x²-3x=x-m，即x²-4x+m=0，
∵拋物線(xiàn)與直線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=16-4m=0，
解得：m=4，
此時(shí)x₁=x₂=2，y=x²-3x=-2，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2）．

（3）∵直線(xiàn)OB的解析式為y=x，且A（3，0），
∴點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（0，3），
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和三線(xiàn)合一性質(zhì)得出∠A′BO=∠ABO，
設(shè)直線(xiàn)A′B的解析式為y=k₂x+3，過(guò)點(diǎn)（4，4），
∴4k₂+3=4，解得：k₂=

1

4

，
∴直線(xiàn)A′B的解析式是y=

1

4

x+3，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，
∴BA′和BN重合，
即點(diǎn)N在直線(xiàn)A′B上，
∴設(shè)點(diǎn)N（n，

1

4

n+3），又點(diǎn)N在拋物線(xiàn)y=x²-3x上，
∴

1

4

=n²-3n，
解得：n₁=-

3

4

，n₂=4（不合題意，舍去）
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

4

，

45

16

）．

（4）如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，
由（3）可知：N₁ （-

1

4

，-

45

16

），B₁（4，-4）．
∴O、D、B₁都在直線(xiàn)y=-x上．
過(guò)D點(diǎn)做DP₁∥N₁B₁，
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴P₁為O N₁的中點(diǎn)．
∴

OP1

ON

=

OD

OB1

，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-

3

8

，-

45

32

）．
將△P₁OD沿直線(xiàn)y=-x翻折，可得另一個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)到x軸距離等于P₁到y(tǒng)軸距離，點(diǎn)到y(tǒng)軸距離等于P₁到x軸距離，
∴此點(diǎn)坐標(biāo)為：（

45

32

，

3

8

）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

8

，-

45

32

）和（

45

32

，

3

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是基于二次函數(shù)的代數(shù)幾何綜合題，綜合考查了待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式、一次函數(shù)（直線(xiàn)）的平移、一元二次方程根的判別式、翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換以及相似三角形等重要知識(shí)點(diǎn)．本題將初中階段重點(diǎn)代數(shù)、幾何知識(shí)熔于一爐，難度很大，對(duì)學(xué)生能力要求極高，具有良好的區(qū)分度，是一道非常好的中考?jí)狠S題．