Question

如圖，AD是圓O的切線，切點為A，AB是圓O的弦。過點B作BC//AD，交圓O于點C，連接AC，過點C作CD//AB，交AD于點D。連接AO并延長交BC于點M，交過點C與圓O相切的直線于點P。

  （1）判斷ÐBCP與ÐACD的數(shù)量關系，并說明理由。

（2）若AB=9，BC=6，求PC的長。

 

Answer 1

 (1) ÐBCP=ÐACD，

理由：如圖j，連接CO并延長，交圓O于點N，連接BN。 ∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。

 ∵CN是圓O的直徑，∴ÐCBN=90°�！�ÐBNC+ÐBCN=90°，

∵直線PC與圓O相切∴ÐPCO=90°，∴ÐBCP+ÐBCN=90°。

∴ÐBNC=ÐBCP。

  又∵ÐBAC=ÐBNC，ÐBAC=ÐACD，   即ÐBCP=ÐACD

 (2)∵AD是圓O的切線，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。

   ∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。

    ∴MC=MB�！�AB=AC。

   在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，

 由勾股定理，得AM===6。

   設圓O的半徑為r。在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，

   由勾股定理，得OM ²+MC ²=OC ²，即(6-r)²+3²=r²。解得r= 。

   在△OMC和△OCP中，  ∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，

   ∴△OMC～△OCP。 ∴ = ，即 = 。

   ∴PC= 。