Question

已知關(guān)于x的方程(x+

a

x

)2-5x-

5a

x

=-6有兩個根相等，求a的值．

Answer 1

分析：通過換元可得到兩個關(guān)于x的含參數(shù)a的一元二次方程，利用判別式即可求出a的值．

解答：解：設(shè)x+

a

x

=y，則y²-5y=-6，解得y₁=2，y₂=3，
∴x²-2x+a=0①，x²-3x+a=0②，
若①有兩個相等的實(shí)根，則△₁=4-4a=0，得a₁=1；
若②有兩個相等的實(shí)根，則△₂=9-4a=0，得a₂=

9

4

．
若①②有公共根，則x²-2x+a=x²-3x+a，得x=0，不合題意，舍去．
故a=1或

9

4

．

點(diǎn)評：本題考查了換元法解方程．運(yùn)用根的判別式延伸到分式方程、高次方程根的情況的探討，是近年中考、競賽中一類新題型，盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎(chǔ)，但對轉(zhuǎn)換能力、思維周密提出了較高要求．