Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分別為邊AB、BC的中點，連結(jié)DE，點P從點A出發(fā)，沿折線AD-DE-EB運動，到點B停止．當點P在線段AD上時速度是$\sqrt{5}$cm/s，在折線DE-EB上時速度是1cm/s．設(shè)點P的運動時間為t（s），且t＞0，過點P作PQ⊥AC于點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點M落在線段AC上．
（1）AD=2$\sqrt{5}$（填數(shù)值）；當點P在線段DE上運動時，線段DP的長為（t-2）cm（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）當點N與點D重合時，求t的值．
（3）當點N落在線段BD上時（不包括端點D、B），求t的值．
（4）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，設(shè)五邊形的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)D為AB中點，求出AD，根據(jù)點P在AD上的速度，即可求出點P在AD段的運動時間，再求出點P在DP段的運動時間，最后根據(jù)DE段運動速度為1cm/s，即可求出DP；
（2）點D與點N重合，P位于線段DE上，求出DP=DM=2，再根據(jù)DP=t-2，得出t-2=2，
（3）點P位于線段EB上，求出PC=t-4，根據(jù)PN∥AC，求出PN=16-2t，根據(jù)PN=PC，得16-2t=t-4，求出t即可；
（4）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況，①當2＜t＜4時，求出DP=t-2，PQ=2，AQ=2+t，AM，根據(jù)MN∥BC，求出FM=$\frac{1}{2}$t，
再根據(jù)S=S_梯形AQPD-S_△AMF=$\frac{1}{2}$（DP+AQ）•PQ-$\frac{1}{2}$AM•FM代入計算即可；
②當$\frac{20}{3}$＜t＜8時，求出PC=t-4，AM=12-t，F(xiàn)M=6-$\frac{1}{2}$t，PG=16-2t，再根據(jù)S=S_梯形AQPG-S_△AMF=$\frac{1}{2}$（PG+AC）•PC-$\frac{1}{2}$AM•FM代入計算即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
D為AB中點，∴AD=2$\sqrt{5}$，
∴點P在AD段的運動時間為$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2s．
如圖（1）當點P在線段DE上運動時，DP段的運動時間為（t-2）s，
∵DE段運動速度為1cm/s，
∴DP=（t-2）cm，
故答案為：2$\sqrt{5}$，（t-2）cm；

（2）

如圖（2）a，此時點D與點N重合，P位于線段DE上．
由三角形中位線定理可知，DM=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴DP=DM=2．
由（1）知，DP=t-2，
∴t-2=2，
∴t=4；

（3）如圖（2）b，此時點P位于線段EB上．
∵DE=$\frac{1}{2}$AC，AC=8cm，
∴點P在DE段的運動時間為4s，
∴PE=t-6，
∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．
∵PN∥AC，
∴PN：PB=AC：BC=2，
∴PN=2PB=16-2t．
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=$\frac{20}{3}$，
所以，當點N落在AB邊上時，t=4或t=$\frac{20}{3}$；
故答案為：t=4或t=$\frac{20}{3}$；

（4）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況，如下圖所示：

①當2＜t＜4時，如圖（3）a所示．
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．
∵MN∥BC，
∴FM：AM=BC：AC=1：2，
∴FM=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$t，
S=S_梯形AQPD-S_△AMF=$\frac{1}{2}$（DP+AQ）•PQ-$\frac{1}{2}$AM•FM=$\frac{1}{2}$[（t-2）+（2+t）]×2-$\frac{1}{2}$t•$\frac{1}{2}$t=-$\frac{1}{4}$t²+2t；
②當$\frac{20}{3}$＜t＜8時，如圖（3）b所示．
PE=t-6，
∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM=$\frac{1}{2}$AM=6-$\frac{1}{2}$t，PG=2PB=16-2t，
S=S_梯形AQPG-S_△AMF=$\frac{1}{2}$（PG+AC）•PC-$\frac{1}{2}$AM•FM=$\frac{1}{2}$[（16-2t）+8]×（t-4）-$\frac{1}{2}$（12-t）•（6-$\frac{1}{2}$t）=-$\frac{5}{4}$t²+22t-84．
∴綜上所述，S與t的關(guān)系式為：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}{t}^{2}+2t（2＜t＜4）}\\{\frac{5}{4}{t}^{2}+22t-84（\frac{20}{3}＜t＜8）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了相似形綜合，是一道運動型綜合題，涉及到動點型（兩個動點）和動線型，運動過程復(fù)雜，難度頗大，對同學(xué)們的解題能力要求很高．讀懂題意，弄清動點與動線的運動過程，是解題的要點．注意第（2）、（3）問中，分別涉及多種情況，需要進行分類討論，避免因漏解而失分．