Question

如圖①，兩個(gè)菱形ABCD和EFGH是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，對(duì)角線均在坐標(biāo)軸上，已知菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1：2，∠BAD=120°，其中AD=4．

（1）點(diǎn)D坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)E坐標(biāo)為

 

；
（2）固定圖①中的菱形ABCD，將菱形EFCH繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度角（0°＜α＜90°），并延長(zhǎng)OE交AD于P，延長(zhǎng)OH交CD于Q，如圖②所示，
①當(dāng)α=30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②試探究：在旋轉(zhuǎn)的過程中是否存在某一角度α，使得四邊形AFEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)推斷出α的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由于∠BAD=120°，易知∠OAD=60°，通過解直角△AOD來求OD、OA的長(zhǎng)度；然后利用相似比來求OE的長(zhǎng)度；
（2）由（1）和相似多邊形的性質(zhì)知，OA=2，OD=2

3

，EF=2．
①作PM⊥OA于點(diǎn)M，易求AM、PM的長(zhǎng)度；
②如果四邊形AFEP是平行四邊形，那么首要滿足的條件是AP∥FE，由于∠FEO=60°，因此∠APO必為60°，此時(shí)△AOP中，∠APO=∠OAP=60°，因此△AOP是等邊三角形，已知兩菱形的位似比為2：1，因此EF=

1

2

AD，也就是EF=AP，由此可得出當(dāng)α=60°時(shí)，AP

∥

.

EF，即四邊形APEF是平行四邊形．

解答：解：（1）如圖①，∵∠BAD=120°，四邊形ABCD是菱形，
∴∠OAD=

1

2

∠BAD=60°．
又∵在直角△AOD中，AD=4，
∴OA=AD•cos60°=4×

1

2

=2，
OD=AD•sin60°=4×

3

2

=2

3

．
又菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1：2，
∴OE：OA=1：2，
∴OE=1，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為 （2

3

，0），點(diǎn)E坐標(biāo)為 （0，1）．
故答案是：（2

3

，0），（0，1）；

（2）①由（1）知，OA=2，OD=2

3

，∠OAD=60°．
∵菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1：2，AD=4，
∴EF=

1

2

AB=

1

2

AD=2．
①當(dāng)α=30°時(shí)，∠APO=90°，則AP=

1

2

OA=1．
如圖②，作PM⊥OA于點(diǎn)M．則AM=

1

2

AP=

1

2

，PM=

3

2

，
∵OM=OA-AM=

3

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

3

2

，

3

2

）；
②當(dāng)α=60°時(shí)，四邊形AFEP是平行四邊形．理由如下：
∵在旋轉(zhuǎn)過程中，EF=2，∠FEO=60°，∠OAP=60°，當(dāng)射線OE旋轉(zhuǎn)角度α=60°時(shí)，得△AOP是等邊三角形，此時(shí)∠APO=60°，AP=2，
∴AP=EF，
∴∠APO=∠FEO，得AP∥EF，
∴四邊形AFEP是平行四邊形，
∴當(dāng)α=60°時(shí)，四邊形AFEP是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)變換以及相似多邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)．在求線段OA和OD時(shí)，也可以利用“在直角三角形中，30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”和勾股定理進(jìn)行解答．