Question

△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ．（有多種輔助線作法）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：方法一、延長AB到D，使BD=BP，連接PD．則∠D=∠5．由已知條件不難算出：∠1=∠2=30°，∠3=∠4=40°=∠C．于是QB=QC．又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，故∠D=40°．于是△APD≌△APC（AAS），所以AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，等量代換即可得證；
方法二、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CBQ=40°，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得BQ=CQ，然后過點(diǎn)P作PD∥BQ，求出PD=CD，再利用“角角邊”證明△ABP與△ADP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=AD，BP=PD，從而得證．

解答：方法一、證明：延長AB到D，使BD=BP，連接PD，
則∠D=∠5．
∵AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，
∴QB=QC，
又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，
∴∠D=40°．
在△APD與△APC中，

∠D=∠C ∠2=∠1 AP=AP

∴△APD≌△APC（AAS），
∴AD=AC．
即AB+BD=AQ+QC，
∴AB+BP=BQ+AQ．
方法二、如圖，
∴∠CBQ=

1

2

∠ABC=

1

2

×80°=40°，
∴∠CBQ=∠ACB，
∴BQ=CQ，
∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，
過點(diǎn)P作PD∥BQ交CQ于點(diǎn)D，
則∠CPD=∠CBQ=40°，
∴∠CPD=∠ACB=40°，
∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，
∵∠ABC=80°，
∴∠ABC=∠ADP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵在△ABP與△ADP中，

ABC=∠ADP ∠BAP=∠CAP AP=AP

，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=PD，
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，
由①②可得，BQ+AQ=AB+BP．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，正確作好輔助線，構(gòu)造全等三角形是解此題的關(guān)鍵，主要考查學(xué)生的推理能力，難度偏大．