Question

已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合）．
（1）如圖10，當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，求線段CP的長；
（2）當(dāng)PQ與AC不平行時(shí)，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由．

Answer 1

⑴解： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12

          ∴  AB＝13．   

∵  Q是BC的中點(diǎn)．

∴  CQ＝QB．

又∵  PQ∥AC．

∴  AP＝PB，即P是AB的中點(diǎn)．                        

∴  Rt△ABC中，．                      

⑵解：當(dāng)AC與PQ不平行時(shí)，只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形．                              

以CQ為直徑作半圓D．

①當(dāng)半圓D與AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，

連結(jié)DM，則

DM⊥AB，且AC＝AM＝5．

∴  MB＝AB－AM＝13－5＝8．

設(shè)CD＝x，則DM＝x，DB＝12－x．

在Rt△DMB中，DB²＝DM²＋MB²．

即   (12－x) ²＝x ²＋8²．

解之得：∴　CQ＝ 即當(dāng)CQ且點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)M位置時(shí),

△CPQ為直角三角形.   8分②當(dāng)＜CQ＜12時(shí)，半圓D與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到這兩個(gè)交點(diǎn)的位置時(shí)，△CPQ為直角三角形．        9分

③當(dāng)0＜CQ＜時(shí)，半圓D與直線AB相離,即點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),均

在半圓D外，∠CPQ＜90°．此時(shí)△CPQ不可能為直角三角形．      

∴　當(dāng)≤CQ＜12時(shí)，△CPQ可能為直角三角形．