Question

如圖，分別以△ABC的三邊為邊長，在BC的同側作等邊三角形ABD，等邊三角形BCE，等邊三角形ACF，連接DE，EF．
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）若AB=4，AC=3，BC=5，求四邊形ADEF的面積．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質及平行四邊形的判定（兩組對邊分別相等的四邊形是平行邊形）來證明四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）可先證明△ABC為直角三角形，可求得∠DAF=150°，則可求得∠D=30°，過E作EM⊥AD，可求得EM，可求得四邊形ADEF的面積．

解答：（1）證明：
四邊形ADEF是平行四邊形．
∵等邊三角形BCE和等邊三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
在△BDE和△BCA中

BE=BC ∠DBE=∠ABC BD=BA

∴△BDE≌△BCA（SAS）．
∴DE=AC．
∵在等邊三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）解：∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC為直角三角形，
∴∠BAC=90°，
又∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠DAF=360°-90°-60°-60°=150°，
∴∠EDA=30°，
如圖，過E作EM⊥AD于點M，

則可知EM=

1

2

ED=

1

2

AF=

1

2

AC=2，
且AD=AB=3，
∴S_{四邊形ADEF}=AD•EM=3×2=6．

點評：本題主要考查平行四邊形的判定和性質，掌握平行四邊形的判定和性質是解題的關鍵，即①兩組對邊分別平行的四邊形?平行四邊形，②兩組對邊分別相等的四邊形?平行四邊形，③一組對邊平行且相等的四邊形?平行四邊形，④兩組對角分別相等的四邊形?平行四邊形，⑤對角線互相平分的四邊形?平行四邊形．