Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊上一點，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點P、O、Q，連接BP、QE

（1）求證：四邊形BPEQ是菱形：

（2）若AB＝6，F是AB中點，OF＝4，求菱形BPEQ的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明PB＝PE，由ASA證明△BOQ≌△EOP，得出PE＝QB，證出四邊形BPEQ是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定即可得出結論；

（2）先證明OF為△BAE的中位線，然后依據(jù)三角形的中位線定理得出AE∥OF且OF＝AE．求得OB的長，則可得到BE的長，設菱形的邊長為x，則AP＝8﹣x，在Rt△APB中依據(jù)勾股定理可列出關于x的方程，然后依據(jù)菱形的面積公式進行計算即可．

（1）證明：∵PQ垂直平分BE，

∴PB＝PE，OB＝OE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝90°，

∴∠PEO＝∠QBO，

在△BOQ與△EOP中，，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

∴PE＝QB，

又∵AD∥BC，

∴四邊形BPEQ是平行四邊形，

又∵QB＝QE，

∴四邊形BPEQ是菱形；

（2）解：∵AB＝6，F是AB的中點，

∴BF＝3．

∵四邊形BPEQ是菱形，

∴OB＝OE．

又∵F是AB的中點，

∴OF是△BAE的中位線，

∴AE∥OF且OF＝AE．

∴∠BFO＝∠A＝90°．

在Rt△FOB中，OB＝＝5，

∴BE＝10．

設菱形的邊長為x，則AP＝8﹣x．

在Rt△APB中，BP2＝AB2+AP2，

即x2＝62+（8﹣x）2，

解得：x＝，

∴BQ＝，

∴菱形BPEQ的面積＝BQ×AB＝×6＝．