Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為半圓上一點，且CD⊥AB于點B，E為

AC

的中點，BE與AC、
CD分別相交于N、M．求證：△CMN為等腰三角形．

Answer 1

考點：圓周角定理,等腰三角形的判定,圓心角、弧、弦的關系

專題：證明題

分析：連接OE交AC于點G，則OE⊥AC，在Rt△EGN和Rt△BDM中，可得∠E+∠ENG=90°，∠B+∠BMD=90°，且∠E=∠B，可得出∠ENG=∠BMD，即可得出∠CNM=∠CMN，所有可得出CN=CM，證得結論．

解答：
證明：
連接OE交AC于點G，
∵E為

AC

的中點，
∴OE⊥AC，
∴∠E+∠ENG=90°，
∵CD⊥AB于點B，
∴∠B+∠BMD=90°，
∴∠ENG=∠BMD，
又∠ENG=∠CNM，∠BMD=∠CMN，
∴∠CNM=∠CMN，
∴CN=CM，
∴△CMN為等腰三角形．

點評：本題主要考查垂徑定理及等腰三角形的判定和性質，由條件得到OE⊥AC是解題的關鍵．