Question

已知關(guān)于x的一元二次方程k²x²+（1-2k）x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂．
（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)k為何值時，|x₁+x₂|-2x₁x₂=-3．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方程由兩個不相等的實數(shù)根，則有△＞0，可列出不等式，求出k的取值范圍；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求出答案．

解答：解：（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（1-2k）²-4k²＞0，即1-4k＞0，
∴k＜

1

4

且k≠0．
（2）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴x₁+x₂=

2k-1

k2

，
x₁x₂=

1

k2

，
∴|x₁+x₂|-2x₁x₂=|

2k-1

k2

|-

2

k2

=-3，即|2k-1|=-3k²+2
當(dāng)2k-1≥0，即k≥

1

2

時，與（1）中k＜

1

4

相矛盾，故舍去．
當(dāng)2k-1＜0，即k＜

1

2

時，|2k-1|=-3k²+2即1-2k=-3k²+2
解得k=-

1

3

或k=1（舍去）．
故k=-

1

3

時，|x₁+x₂|-2x₁x₂=-3成立．

點評：總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
（4）若一元二次方程有實數(shù)根，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．