Question

如圖所示，直角梯形OABC的頂點A、C分別在y軸正半軸與x軸負半軸上．過點B、C作直線l．將直線l平移，平移后的直線l與x軸交于點D，與y軸交于點E．且，OA=4
（1）求直角梯形OABC的面積及直線BC的解析式；
（2）當直線l向左或向右平移時（包括l與直線BC重合），在直線AB上是否存在點P，使△PDE為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過B作BF⊥x軸于F，得，OF=AB=2，BF=OA=4且得直角三角形BFC，
所以根據勾股定理得：CF²=BC²-BF²=-4²=4，
∴CF=2，OC=CF+OF=2+2=4，
所以直角梯形OABC的面積為：（4+2）×4÷2=12．
由已知和計算得B、C兩點的坐標分別為：（-2，4），（-4，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，則得；
4=-2k+b ①
0=-4k+b ②
由①②得k=2，b=8，
所以直線BC的解析式為：y=2x+8．

（2）存在，所有滿足條件的點P的坐標分別為：
P₁（-12，4），P₂（-8，4），P₃（-4，4），P₄（，4），P₅（8，4）．
分析：（1）先過B作BF⊥x軸交x軸于F，會得到，OF=AB=2，及直角三角形BFC，能求得CF，OC=CF+OF，從而求出直角梯形OABC的面積，這樣得出B、C兩點的坐標．由點斜式y(tǒng)=kx+b，把B、C點的坐標代入求出k和b即能求出直線BC的解析式．
（2）當直線l向左或向右平移時（包括l與直線BC重合），在直線AB上是否存在點P，使△PDE為等腰直角三角形的點可以確定縱坐標都為4，有兩相等的直角邊確定橫坐標．
點評：此題考查的知識點是一次函數的應用及直角三角形的性質應用，其關鍵是通過解直角三角形確定點的坐標求解．