Question

已知正三角形的邊長為a，求其內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：根據(jù)等邊三角形的三線合一，可以構(gòu)造一個(gè)由其內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成的30°的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出內(nèi)切圓半徑，即可求得正方形的對(duì)角線長，進(jìn)而求得面積．

解答：解：∵內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊組成一個(gè)30°的直角三角形，
則∠OBD=30°，BD=

a

2

，
∴tan∠BOD=

OD

BD

=

3

3

，
∴內(nèi)切圓半徑OD=

3

3

×

a

2

=

3

6

a．
則內(nèi)切圓的直徑長是

3

3

a，
則內(nèi)接正方形的面積是：

1

2

×（

3

3

a）²=

1

6

a²．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，注意：根據(jù)等邊三角形的三線合一，可以發(fā)現(xiàn)其內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑和半邊正好組成了一個(gè)30°的直角三角形．