Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A、D不重合），一直角邊經(jīng)過點C，另一直角邊AB交于點E．
（1）求證：Rt△AEP∽Rt△DPC；
（2）當∠CPD=30°時，求AE的長；
（3）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性質(zhì)，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，從而證明△CDP∽△PAE；
（2）由△CDP∽△PAE得出∠EPA=∠PCD=30°，由角的正切值定理知AE=AP•tan∠EAP，代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)即可求得答案；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點P，設(shè)DP=x，則AP=11-x，由△CDP∽△PAE知$\frac{CD}{AP}$=2，解得x=8，此時AP=3，AE=4．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=4，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴Rt△AEP∽Rt△DPC；
（2）解：在Rt△PCD中，由tan∠PCD=$\frac{PD}{CD}$，
∴PD=CD•tan∠PCD=4×tan30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AP=AD-PD=11-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
解法1：由△CDP∽△PAE知：$\frac{PD}{AE}=\frac{CD}{AP}$，
∴AE=$\frac{PD•AP}{CD}$，
（3）解：假設(shè)存在滿足條件的點P，
設(shè)DP=x，則AP=10-x，
∵△CDP∽△PAE，
根據(jù)△CDP的周長等于△PAE周長的2倍，得到兩三角形的相似比為2，
∴$\frac{CD}{AP}$=$\frac{4}{10-x}$，
解得x=8．
此時AP=2，AE=4．

點評 此題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形的相似性質(zhì)以及特殊角的銳角三角函數(shù)值，根據(jù)△CDP的周長等于△PAE周長的2倍，得到兩三角形的相似比為2是解題關(guān)鍵．