Question

如圖，⊙O中，AB是直徑，BC是弦，弦ED⊥AB與點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)P，使得PC=PG．
（1）求證：直線PC與⊙O相切；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可以證明∠OBC=∠OCB，∠PGC=∠PCG，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可證得∠PCG+∠BCF=90°，從而證明OF⊥PC即可證得；
（2）證明△OBG∽△GBF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可證得．

解答：（1）證明：連接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵PC=PG，
∴∠PGC=∠PCG，
∵∠PGC=∠BGF，
∴∠BGF=∠PCG，
∵ED⊥AB，
∴∠OBC+∠BGF=90°，
∴∠PCG+∠BCF=90°，即∠FCP=90°，則OF⊥PC，
∴直線PC是圓的切線；
（2）結(jié)論：CG²=BF•BO．
證明：連接OG，
則OG⊥BC，
∴∠OCP=∠BFG=90°，
∵∠B=∠B，
∴△OBG∽△GBF，
∴

OB

BG

=

BG

BF

，
∴BG²=OB•BF，
又∵BG=CG，
∴CG²=OB•BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．