Question

已知，如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠CBD=∠EBD，DE垂直平分AB，點(diǎn)E為垂足，求證：
（1）∠A=30°；
（2）AD=2CD．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠DBA，再由BD平分∠ABC得到∠DBA=∠DBC，則∠ABC=2∠A，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠A的度數(shù)．
（2）利用“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”和（1）中AD=BD證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠A=∠DBA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=∠DBC，
∴∠ABC=2∠A，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠A+2∠A=90°，
∴∠A=30°．

（2）由（1）知∠A=30°．則∠ABC=60°．
∵∠CBD=∠EBD，∠ABC=∠CBD+∠EBD，
∴∠CBD=∠EBD=30°，
∴DB=2DC．
又由（1）知，DA=DB，
∴AD=2CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．