Question

如圖，正方形ABCD，P為BC邊上一點，以AP為斜邊在正方形ABCD內作等腰Rt△APQ，連接AC交PQ于點E，連接DQ．
（1）求證：△ACP∽△ADQ；
（2）當P為BC的中點時，求

PE

PC

的值；
（3）在（2）的條件下，求證：EQ=

5

2

DQ．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質得∠DAQ+∠QAE=45°，

AC

AD

=

2

；根據(jù)等腰直角三角形的性質得∠PAC+∠QAE=45°，

AP

AQ

=

2

，所以∠PAC=∠QAD，

AC

AD

=

AP

AQ

，于是可判斷△ACP∽△ADQ；
（2）設正方形ABCD的邊長為2a，則PB=PC=a，AP=

5

a，AC=2

2

a，由∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP得到△APE∽△ACP，利用相似比可計算出

PE

PC

=

10

4

；
（3）由（2）的結論得PE=

10

4

a，而PQ=

2

2

AP=

10

2

a，則EQ=PQ-PE=

10

4

a，再利用（1）的結論得到

PC

DQ

=

AC

AD

，可計算得到DQ=

2

2

a，然后求EQ與DQ的比值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAC=45°，即∠DAQ+∠QAE=45°，

AC

AD

=

2

，
∵△APQ為等腰直角三角形，
∴∠QAP=45°，即∠PAC+∠QAE=45°，

AP

AQ

=

2

，
∴∠PAC=∠QAD，

AC

AD

=

AP

AQ

，
∴△ACP∽△ADQ；

（2）解：設正方形ABCD的邊長為2a，則PB=PC=a，
∴AP=

AB2+PB2

=

(2a)2+a2

=

5

a，AC=2

2

a，
∵∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP，
∴△APE∽△ACP，
∴

PE

PC

=

AP

AC

=

5 a

2 2 a

=

10

4

；

（3）證明：∵PC=a，

PE

PC

=

10

4

，
∴PE=

10

4

a，
∵PQ=

2

2

AP=

10

2

a，
∴EQ=PQ-PE=

10

4

a，
又∵△ACP∽△ADQ，
∴

PC

DQ

=

AC

AD

，即

a

DQ

=

2 2 a

2a

，
∴DQ=

2

2

a，
∴

EQ

DQ

=

10 a 4

2 2 a

=

5

2

，
∴EQ=

5

2

DQ．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組對應邊的比相等且夾角相等的兩個三角形相似；有兩組對應角相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比等于相等，都等于相似比．也考查了等腰直角三角形的性質和正方形的性質．