Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以C為圓心、CA的長為半徑的圓分別交AB、CB于E、M，AC的延長線交⊙C于D，連接DE交CB于N，連接BD．求證：
（1）△ABD是等腰三角形；
（2）CM²=CN•CB．

Answer 1

分析：（1）△ABD中，BC垂直平分AD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到AB=BD的結(jié)論；
（2）由于AC=CD=CM，那么所求的乘積式可化為：AC•CD=CN•CB，然后將此式化為比例式，證這些線段所在的三角形相似即可，即證Rt△DNC∽Rt△BAC．

解答：證明：（1）∵CB⊥AD，DC=AC，
∴BD=BA，即△ABD是等腰三角形；（3分）

（2）∵AD是⊙C的直徑，（4分）
∴∠DEA=90°．
∴∠EDA=90°-∠A=∠CBA；（7分）
∴Rt△DNC∽Rt△BAC，∴

DC

BC

=

NC

AC

；（8分）
又∵AC=DC=CM，∴CM²=CN•CB．（9分）

點(diǎn)評：此題主要考查的是等腰三角形的判定、圓周角定理及相似三角形的判定和性質(zhì)．