Question

證明“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，AC=b，且∠C=90°，那么a²+b²=c²”是真命題．

Answer 1

考點(diǎn)：命題與定理,勾股定理

專題：

分析：以a，b長(zhǎng)為上下底邊，以a+b長(zhǎng)為高，作梯形ABDE，即AB⊥BD，ED⊥BD，AB=a，ED=b，在其高BD上再取一點(diǎn)C，使BC=b，連結(jié)AC，EC，求出△ACE是等腰直角三角形，根據(jù)梯形面積公式求出梯形面積，根據(jù)三角形面積公式求出梯形面積，即可得出等式，即可得出答案．

解答：證明：在△ADE和△EBC中，

AD=EC ∠C=∠D=90° DE=BC

，
∴△ADE≌△EBC（SAS），
∴∠AED=∠CBE，
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠AEB=90°，
∴梯形的面積=

1

2

（a+b）（a+b）=2×

1

2

ab+

1

2

c²，
整理得a²+b²=c²．
∴在△ABC中，如果AB=c，BC=a，AC=b，且∠C=90°，那么a²+b²=c²是真命題．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的判定與性質(zhì)，求出∠AEB=90°是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于利用梯形的面積列出方程．