Question

12．在四邊形ABCD中，∠D=90°，以AB為直徑作半⊙O．
（1）如圖1，若⊙O與DC有公共點E，且∠BAE=∠DAE．試說明DC是⊙O的切線；
（2）如圖2，若⊙O與DC交于點E、F，圖中∠BAF與∠DAE相等嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）連接OE，由于OE分別是AB、CD中點，可知OE是梯形ABCD的中位線，從而有OE∥AD∥BC，而∠D=90°，易求∠OED=90°，從而可知CD是⊙O切線；
（2）連接BF，求出∠BFA=90°，根據(jù)圓內接四邊形的性質求出∠DEA=∠ABF，即可求出答案．

解答
（1）證明：如圖1，連接OE，
∵OA=OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE=∠OEA，
∵OE∥AD，
∵∠D=90°，
∴OE⊥CD，
∴DC是⊙O的切線；

（2）解：相等，
理由是：如圖2，連接BF，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∵A、B、F、E四點共圓，
∴∠DEA=∠BAF，
∴∠BAF=∠DAE．

點評 本題考查了圓內接四邊形的性質、切線的判定、圓周角定理、平行線的性質的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵．