Question

【題目】點(diǎn)P（x1，y1）和點(diǎn)Q（x2，y2）是關(guān)于x的函數(shù)y＝mx2﹣（2m+1）x+m+1（m為實(shí)數(shù)）圖象上兩個不同的點(diǎn)．對于下列說法：①不論m為何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m+1＝0必有一個根為x＝1；②當(dāng)m＝0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0成立；③當(dāng)x1+x2＝0時，若y1+y2＝0，則m＝﹣1；④當(dāng)m≠0時，拋物線頂點(diǎn)在直線y＝﹣x+1上．其中正確的是（　�。�

A.①②B.①②③C.③④D.①②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)方程解的定義對①進(jìn)行判斷；先得到當(dāng)m=0時，函數(shù)解析式為y=﹣x+1，則可計(jì)算出，于是可根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)對②進(jìn)行判斷；當(dāng)m=﹣1時，解析式為﹣+，可計(jì)算出+=2≠0，于是可對③進(jìn)行判斷；先計(jì)算出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征對④進(jìn)行判斷．

當(dāng)x=1時，y=mx2﹣(2m+1)x+m+1=m﹣2m﹣1+m+1=0，

則方程mx2﹣(2m+1)x+m+1=0必有一個根為x=1，所以①正確；

當(dāng)m=0時，y=﹣x+1，則y1=﹣x1+1，y2=﹣x2+1，

所以(x1﹣x2)(y1﹣y2)=(x1﹣x2)(﹣x1+x2)=﹣(x1﹣x2)2，

而點(diǎn)P(x1，y1)和點(diǎn)Q(x2，y2)是兩個不同的點(diǎn)，

所以x1x2，

則(x1﹣x2)(y1﹣y2)=﹣(x1﹣x2)2＜0，所以②正確；

當(dāng)m=﹣1時，y=﹣x2+x，

則y1=﹣x12+x1，y2=﹣x22+x2，

所以y1+y2=﹣x12+x1﹣x22+x2=﹣(x1+x2)2+2x1x2+(x1+x2)，

當(dāng)x1+x2=0時，

y1+y2=2x1x2≠0，所以③錯誤；

當(dāng)m≠0時，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，

當(dāng)x=時，，

所以拋物線的頂點(diǎn)不在直線上，所以④錯誤．

綜上：①②正確，

故選：A．