Question

已知⊙O過點(diǎn)D（3，4），點(diǎn)H與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，過H作⊙O的切線交x軸于點(diǎn)A．
（1）求sin∠HAO的值；
（2）如圖2，設(shè)⊙O與x軸正半軸交點(diǎn)為P，點(diǎn)E、F是線段OP上的動點(diǎn)（與點(diǎn)P不重合），連接并延長DE、DF交⊙O于點(diǎn)B、C，直線BC交x軸于點(diǎn)G，若△DEF是以EF為底的等腰三角形，求sin∠CGO的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接OH，DH，DH交x軸于Q，如圖1，利用關(guān)于x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到H（3，-4），再根據(jù)切線的性質(zhì)，由AH與⊙O相切于H得到OH⊥AH，則可利用等角的余角相等得到∠HAO=∠QHO；在Rt△OQH中，根據(jù)勾股定理計算出OH=5，然后根據(jù)正弦的定義計算出sin∠QHO=

3

5

，即有sin∠HAO=

3

5

；
（2）作DH⊥x軸于H，交⊙O于M，連接OM交BC于N，如圖，由OH⊥DM，根據(jù)垂徑定理得HD=HM，則點(diǎn)M與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，則M（3，-4），再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得DH平分∠FDE，即∠CDM=∠BDM，則根據(jù)圓周角定理得到

CM

=

BM

，接著可利用垂徑定理的推論得到OM⊥BC，則∠NGO+∠NOG=90°，利用等角的余角相等得到∠NGO=∠OMH，在Rt△OMH中，用勾股定理計算出OM=5，于是可根據(jù)正弦的定義得到sin∠OMH=

3

5

，則sin∠NGO=

3

5

，即sin∠CGO=

3

5

．

解答：解：（1）連接OH，DH，DH交x軸于Q，如圖1，
∵點(diǎn)H與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，
∴x軸垂直平分DH，
而D（3，4），
∴H（3，-4），
∵AH與⊙O相切于H，
∴OH⊥AH，
∴∠HAO+∠AOH=90°，
而∠QHO+∠AOH=90°，
∴∠HAO=∠QHO，
在Rt△OQH中，∵OQ=3，QH=4，
∴OH=

OQ2+QH2

=5，
∴sin∠QHO=

OQ

OH

=

3

5

，
∴sin∠HAO=

3

5

；
（2）作DH⊥x軸于H，交⊙O于M，連接OM交BC于N，如圖2，
∵OH⊥DM，
∴HD=HM，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，
而D（3，4），
∴M（3，-4），
∵△DEF是以EF為底的等腰三角形，
∴DH平分∠FDE，即∠CDM=∠BDM，
∴

CM

=

BM

，
∴OM⊥BC，
∴∠ONG=90°，
∴∠NGO+∠NOG=90°，
而∠NOG+∠OMH=90°，
∴∠NGO=∠OMH，
在Rt△OMH中，∵OH=3，MH=4，
∴OM=

OH2+MH2

=5，
∴sin∠OMH=

OH

OM

=

3

5

，
∴sin∠NGO=

3

5

，
即sin∠CGO=

3

5

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、圓周角定理和切線的性質(zhì)；會運(yùn)用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行幾何計算；理解關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．