Question

如圖，直線y=mx+3與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交于A，B兩點，與x軸y軸分別交于點C、D，AD=AB，AF⊥y軸于F，BE⊥x軸于E，F(xiàn)A的延長線與EB的延長線交于點G．
（1）求證：A，B分別為FG、EG的中點．
（2）當S_△OAB=3時，求雙曲線的解析式．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用“角角邊”證明△ADF和△ABG全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得AF=AG，從而確定點A是FG的中點，設點A的橫坐標為a，表示出點B的橫坐標，然后代入反比例函數(shù)解析式求出點A、B的縱坐標，然后求出BE=GB，從而得到點B是EG的中點；
（2）根據(jù)S_△OAB=S_矩形OEGF-S_△AOF-S_△OBE-S_△ABG，然后列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵AF⊥y軸，BE⊥x軸，F(xiàn)A的延長線與EB的延長線交于點G，
∴∠AFD=∠G=90°，
在△ADF和△ABG中，

∠AFD=∠G=90° ∠DAF=∠BAG AD=AB

，
∴△ADF≌△ABG（AAS），
∴AF=AG，
∴A為FG的中點，
設點A的橫坐標為a，
則點A的縱坐標為

k

a

，點B的橫坐標為2a，
∴點G的縱坐標為

k

a

，點B的縱坐標為

k

2a

，
∴GE=2BE，
即點B為EG的中點，
故A，B分別為FG、EG的中點；

（2）解：由圖可知，S_△OAB=S_矩形OEGF-S_△AOF-S_△OBE-S_△ABG，
=2a•

k

a

-

1

2

•a•

k

a

-

1

2

•a•

k

a

-

1

2

a•（

k

a

-

k

2a

），
=2k-

k

2

-

k

2

-

k

4

，
=

3

4

k，
∵S_△OAB=3，
∴

3

4

k=3，
解得k=4，
所以，雙曲線的解析式為y=

4

x

．

點評：本題是反比例函數(shù)綜合題型，主要利用了全等三角形的判定與性質，線段中點的定義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，難點在于（2）用矩形的面積和直角三角形的面積表示出△OAB的面積并整理成關于k的代數(shù)式．