Question

2．直線y=-x+8交x軸于A，交y軸于B，經(jīng)過O、A兩點的拋物線y=ax²+bx交直線AB于另外一點C，且點C的橫坐標為2．

（1）求拋物線的解析式；
（2）M為直線AC上方拋物線上一點，MD∥OC交AC于D，設(shè)MD=d，求d與點M的橫坐標t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當d最大值，拋物線上是否存在點R使得∠MCO+∠MCR=180°，若存在，求點R的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，先求直線y=-x+8與x軸交點A和與y軸交點B的坐標，根據(jù)C的橫坐標求出縱坐標；再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明△OBC∽△MFD，得$\frac{OB}{FM}=\frac{OC}{MD}$，代入化簡可得d與點M的橫坐標t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖3，先根據(jù)∠MCO+∠MCR=180°，找出滿足條件的R點，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補及線段的中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，作線段CM的中垂線GH，交DM于H，再作直線CH與拋物線的交點就是所求的點R，再利用待定系數(shù)法依次求各直線的解析式，點R是拋物線與直線CH的交點，因此利用兩函數(shù)解析式列方程組即可求出點R的坐標．

解答 解：（1）如圖1，當x=0時，y=8，當y=0時，x=8，
∴A（8，0），B（0，8），
當x=2時，y=-2+8=6，
∴C（2，6），
把A（8，0），C（2，6）代入y=ax²+bx中得：$\left\{\begin{array}{l}{64a+8b=0}\\{4a+2b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+4x；
（2）如圖2，過M作ME⊥x軸于E，交直線AB于F，
∵OA=OB=8，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
在Rt△FEA中，∠AFE=45°，
∴∠DFM=∠AFE=45°，
∴∠OBA=∠DFM=45°，
∵DM∥OC，
∴∠OCA=∠BDM，
∴∠OCB=∠FDM，
∴△OBC∽△MFD，
∴$\frac{OB}{FM}=\frac{OC}{MD}$，
∵M在拋物線上，
∴M（t，-$\frac{1}{2}$t²+4t），
當x=t時，y=-t+8，
∴EM=-$\frac{1}{2}$t²+4t，EF=-t+8，
∴FM=EM-EF=-$\frac{1}{2}$t²+4t+t-8=-$\frac{1}{2}$t²+5t-8，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴$\frac{8}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+5t-8}$=$\frac{2\sqrt{10}}2qy2kce$，
∴d=-$\frac{\sqrt{10}}{8}{t}^{2}$+$\frac{5\sqrt{10}}{4}$t-2$\sqrt{10}$；
（3）存在，如圖3，
作線段CM的中垂線GH，交CM于G，交DM于H，作直線CH交拋物線于點R，則CH=HM，
∴∠MCR=∠HMC，
由（2）知：DM∥OC，
∴∠MCO+∠HMC=180°，
∴∠MCO+∠MCR=180°，
d=-$\frac{\sqrt{10}}{8}$（t-5）²+$\frac{9}{8}\sqrt{10}$，
∴當t=5時，d有最大值，
當x=5時，y=-$\frac{1}{2}×25$+4×5=$\frac{15}{2}$，
∴M（5，$\frac{15}{2}$），
設(shè)OC的解析式為：y=kx，
把C（2，6）代入得：2k=6，k=3，
∴OC的解析式為：y=3x，
∵OC∥DM，
∴設(shè)直線DM的解析式為：y=3x+b，
把M（5，$\frac{15}{2}$）代入得：$\frac{15}{2}$=15+b，b=-$\frac{15}{2}$，
∴直線DM的解析式為：y=3x-$\frac{15}{2}$，
同理得：直線CM的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+5，
∴設(shè)直線GH的解析式為：y=-2x+b，
∵C（2，6），M（2，$\frac{15}{2}$），
∴G（$\frac{7}{2}$，$\frac{27}{4}$），
把G（$\frac{7}{2}$，$\frac{27}{4}$）代入到y(tǒng)=-2x+b中得：b=$\frac{55}{4}$，
∴直線GH的解析式為：y=-2x+$\frac{55}{4}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+\frac{55}{4}}\\{y=3x-\frac{15}{2}}\end{array}\right.$   解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{17}{4}}\\{y=\frac{21}{4}}\end{array}\right.$，
∴H（$\frac{17}{4}$，$\frac{21}{4}$），
∴直線CH的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{20}{3}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+\frac{20}{3}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$     $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{20}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{40}{9}}\end{array}\right.$，
∴R（$\frac{20}{3}$，$\frac{40}{9}$）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，本題還運用了利用兩函數(shù)的解析式列方程組求交點的坐標；在直線設(shè)解析式時，要知道：①兩直線平行，則一次項系數(shù)k相等；②兩直線垂直，則一次項系數(shù)k是互為負倒數(shù)；把函數(shù)、方程和幾何圖形相結(jié)合，同時也巧妙地運用三角形相似求函數(shù)的解析式．