Question

9．如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長交AD于E，交BA的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：△APD≌△CPD；
（2）求證：△APE∽△FPA；
（3）猜想：線段PC，PE，PF之間存在什么關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得到判定△APD≌△CPD的條件；
（2）由△APD≌△CPD判斷出△APE∽△FPA；
（3）由△APE∽△FPA得到$\frac{PA}{PE}=\frac{PF}{PA}$，再等量代換即可．

解答 （1）證明：∵ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠ADP=∠CDP
在△APD和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠ADP=CDP}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD；
（2）證明：由（1）△APD≌△CPD，
得：∠PAE=∠PCD，
又由DC∥FB得：∠PFA=∠PCD
∴∠PAE=∠PFA
又∵∠APE=∠APF，
∴△APE∽△FPA
（3）解：線段PC、PE、PF之間的關(guān)系是：PC²=PE•PF，
∵△APE∽△FPA，
∴$\frac{PA}{PE}=\frac{PF}{PA}$，
∴PA²=PE•PF，
又∵PC=PA，
∴PC²=PE•PF．

點(diǎn)評 本題是相似圖形的性質(zhì)和判定，主要考查了全等三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是找到相似的三角形．